L'approccio APT

Il Sistema APT consiste nell'attuazione completa, vera e senza compromessi della teoria dell'arbitrage pricing. Se da un lato il teorema APT (Ross, 1976) si incentra sui prezzi attesi delle attività in un mercato soggetto ad arbitraggio, una delle sue più importanti implicazioni riguarda le oscillazioni dei prezzi di tali attività: il rischio.

Qualche parola sul rischio di portafoglio

Prima di esaminare la teoria, richiamiamo qualche concetto fondamentale sul rischio di portafoglio:

Il rendimento di un portafoglio consiste semplicemente nella media ponderata dei rendimenti delle singole attività, in base alla proporzione delle singole posizioni rispetto al portafoglio.

Il rischio di portafoglio è un concetto più complesso: è una media ponderata delle varianze e covarianze delle singole attività rispetto a tutte le altre, utilizzando come ponderazione il loro peso nel portafoglio, elevato al quadrato. Per una interpretazione più agevole, è meglio utilizzare le unità del rendimento originario, piuttosto che i rendimenti al quadrato utilizzati per calcolare la varianza. In questo modo, il rischio è generalmente calcolato come la radice quadrata della varianza, la "volatilità" (vale a dire, la deviazione standard) dei rendimenti del portafoglio. Il rischio relativo rispetto a un benchmark è pertanto la volatilità del "portafoglio coperto": la combinazione del portafoglio originario e di un benchmark.

In breve, per calcolare il rischio di portafoglio, dovete: a) rilevare le varianze e le covarianze dei rendimenti in una tabella, la "matrice della covarianza"; b) inserire le ponderazioni delle posizioni contenute nel portafoglio; c) applicare la formula per il rischio di portafoglio, vale a dire una funzione detta "forma quadratica" dai matematici.

Perchè esprimere nuovamente una formula algebrica di quarant'anni fa?

Semplicemente per questo motivo: qualunque metodo si utilizzi per analizzare il rischio di portafoglio, alla fine esso deve essere coerente con quella matrice. Fino alla sua riscoperta da parte degli architetti del Value-at-Risk (1994), questo fatto basilare sembrava essere stato completamente dimenticato da parte dei più noti sistemi di analisi del rischio.

La stima della matrice della covarianza

In ottica previsionale, per stimare il rischio prospettico di portafoglio, abbiamo bisogno di stime delle varianze e delle covarianze. Abbiamo bisogno della stima della matrice di covarianza.

Come si ottiene?

Un metodo è quello che prevede di trattare ciascuna attività in modo indipendente e di utilizzare qualche semplice stimatore della volatilità, una loro combinazione (Garman-Klass, 1980), od anche stimatori GARCH (Engle, 1982; Bollerslev, 1986). Per attività la cui varianza è negoziata sui mercati, come ad esempio le opzioni, potremmo persino prendere le previsioni di mercato implicite nei prezzi delle opzioni stesse, vale a dire, la "volatilità implicita". Qualunque sia la scelta, comunque, ciascuna attività è considerata singolarmente. Il solo dato utilizzato nella stima è la storia di tale attività, nient'altro.

Analogamente per la covarianza: per ciascuna coppia di azioni, possiamo utilizzare la covarianza classica tra le due attività, per esempio tra Microsoft e IBM, ignorando tutte le altre azioni. In questo caso, gli unici dati utilizzati sono quelli relativi a queste due azioni, nient'altro. Ciascuna coppia è trattata singolarmente.

In breve, questi sono metodi locali.

Questi sono metodi miopici, dispendiosi e non accurati. La cosa peggiore consiste nel fatto che non sono basati su alcuna teoria. Sono determinati meramente dai dati. E infatti i loro difetti sono evidenti: le matrici di covarianza costruite in tal modo sono notoriamente instabili e spesso del tutto fuorvianti.

Un altro metodo consiste nell'ipotizzare la conoscenza delle variabili determinanti la volatilità. Se scegliamo alcune variabili e specifichiamo la relazione tra ciascun variabile e ciascuna azione, possiamo stimare il contributo di tale fattore dai dati storici. Per esempio, se diciamo che Microsoft è un'azione che cresce e giungiamo a una qualche definizione di "azione che cresce", possiamo tentare di misurare la componente "crescita" insita nella performance dell'azione Microsoft. Nondimeno, i dati econometrici di base ci pongono un limite formidabile: per fidarci della stima, dobbiamo ipotizzare che il modello sia correttamente specificato. Più semplicemente, si può dire che se utilizziamo il fattore X quando dovremmo in realtà utilizzare Y, le stime non sono migliori di ciò che otterremmo se tentassimo di indovinare. Se prendiamo altri punti campione, le cifre cambiano, spesso drasticamente. E lo stesso fa la stima del rischio. Questo tipo di errore, la maledizione dell'econometria, si chiama "errore di specificazione". Nessuna quantità di dati estratti lo può correggere. Non è colpa dei dati, ma della mancanza di un impianto teorico. Il solo modo di uscirne è quello di dotarsi di una teoria, vale a dire, nel nostro caso, di un modello di determinazione del prezzo delle attività(asset pricing model). L'analisi statistica, applicata senza un supporto teorico, non è solo inutile: è pericolosa. Essa suggerisce una conoscenza, laddove si combacia con i dati. Questa lezione è stata bene imparata venti anni fa, con lo spettacolare fallimento dei modelli macro-econometrici.

Si noti anche che persino se sapessimo che la specificazione ècorretta, grazie a qualche teoria, avremmo ancora bisogno di stimare correttamente i fattori determinanti. Altrimenti anche le stime sarebbero errate.

Il colpo finale a questo metodo è parimenti grave: esso ignora in realtà la matrice di covarianza. Qualunque fattore noi scegliamo, misuriamo il suo contributo a ciascuna azione in una situazione di "vuoto", per cosí dire, in modo totalmente indipendente dalla covarianza effettiva con tutte le altre azioni. Di fatto, la matrice di covarianza non entra mai nel discorso. E' letteralmente scomparsa.

Ma non si può evitare la matematica: il rischio di portafoglio è una funzione esplicita della matrice di covarianza. Stimare il rischio di portafoglio a prescindere dalla matrice di covarianza è semplicemente una follia. Ignorare ciò che definisce il rischio di portafoglio significa assicurarsi stime deludenti.

In tutta onestà, alcuni noti modelli di rischio basati su questo approccio erano stati costruiti prima della scoperta da parte di Ross del teorema APT (1976). Ma i difetti fatali permangono in tutte le successive variazioni degli stessi. Oggi tuttavia la situazione non è più la stessa.

Il Teorema APT e il rischio

Oggi non siamo più bloccati in una situazione di assenza di impianto teorico. A partire dalla scoperta di Ross esiste, infatti, una teoria notevolmente efficace: una teoria basata sul più importante modello di asset pricing: l'arbitrage pricing. E' lo stesso arbitrage pricing che ha generato le grandi novità nei modelli finanziari nell'era degli strumenti derivati, negli ultimi venticinque anni.

Il teorema APT stabilisce una relazione di equilibrio nella definizione dei prezzi tra il rendimento atteso di ciascuna attività e quello di tutte le altre. La relazione è implicita nella matrice di covarianza. Detto altrimenti, è proprio la struttura della matrice della covarianza che permette la determinazione dell'arbitrage pricing. In particolare, il teorema mostra che il rendimento atteso di un'attività oltre il tasso risk-free sarà semplicemente la somma della sua esposizione ad alcune fonti di rischio condivise, ponderate in base ai prezzi che il mercato assegna a tali rischi: i premi per il rischio.

Ciò che definisce un rischio in questa equazione non sono una o più variabili nel mondo reale, ma il fatto che sono condivise. In momenti diversi, gli investitori si concentreranno su caratteristiche delle attività diverse. Essi spesso non si troveranno d'accordo su ciò che è importante e ciò che non lo è. Cambieranno l'oggetto della loro attenzione e la loro opinione più volte. I mercati dei capitali nascono dal loro disaccordo. Temi differenti, vecchi e nuovi, sorgeranno e scompariranno in momenti diversi. Ciò significa che non possiamo sempre sperare di osservare direttamente queste caratteristiche comuni, nè che dovremmo tentare di farlo. Non in questa fase, in cui desideriamo una stima accurata del rischio, non anche la sua attribuzione. Il teorema non dice nulla al riguardo. E' un risultato matematico diretto che mette in relazione la performance di ciascuna azione a portafogli non correlati di tutte le azioni, in cui ciascuno "mima" il loro contributo indipendente, legato a caratteristiche condivise. Tutto ciò che dice il teorema è che in media, i rendimenti obbediranno alla relazione di pricing. Senza insistere su argomentazioni matematiche complesse, questa, di fatto, è un'affermazione riguardante la struttura della matrice della covarianza. Formalmente, dice che, piuttosto che essere solo una semplice matrice simmetrica, essa avrà una classificazione efficace molto meno numerosa rispetto al numero delle azioni di cui si sta determinando il prezzo. Si troverà in un sottospazio infra-dimensionale rispetto a quello della singola azione.

La rappresentazione di matrici in differenti sottospazi e differenti sistemi di coordinate è una questione che ha una lunga e illustre storia in ambito matematico (p.e., l'analisi dello "spazio proprio", la scomposizione spettrale, Eckart e Young, 1936). Cosí, in linea di principio, l'estrazione di tale struttura appare piuttosto chiara. Ma nella pratica, quando i dati consistono in osservazioni a campione generati da un qualche processo stocastico, si tratta di un'importante sfida statistica (Blin, 1997, Blin e Bender 1995).

Una cosa è certa, comunque: se riusciamo, non avremo alcun errore di specificazione, in virtù della costruzione stessa, dato che staremo semplicemente applicando il teorema. E saremo perfettamente coerenti con la matrice di covarianza, di nuovo in virtù della costruzione, dato che partiremo dalla matrice stessa.

La stima

L'approccio standard consiste nella mappatura della matrice in uno "spazio proprio", per esempio tramite un'analisi delle componenti principali (analisi PCA). Infatti, dieci anni prima della scoperta del teorema APT, King (1966) aveva applicato l'analisi PCA all'universo azionario Dow Jones Industrial Average. Se, da un lato, lo scopo dell'esercizio fu quello di tentare di scoprire alcuni ampi fattori statistici piuttosto che di misurare il rischio di portafogli azionari tratti dall'universo DJIA, dall'altro, esso illustrò il comportamento fortemente condiviso che determinava la loro performance.

Poco notato fu, tuttavia, il fatto che esistevano molte meno azioni nel campione (trenta) rispetto alle osservazioni sul rendimento. In generale, la situazione opposta è la regola: poichè dobbiamo utilizzare tutte le attività quotate (azioni, obbligazioni, commodity, valute, etc.) per creare la matrice, e poichè la frequenza dei rendimenti è limitata dall'asincronia dei prezzi, esistono sempre molte più attività che periodi temporali di osservazione dei rendimenti. Il "tasso di concentrazione", vale a dire il numero di attività diviso per il numero delle osservazioni nel tempo, è estremamente sbilanciato. Senza entrare nei passaggi matematici, ora, è sufficiente dire che la stima della matrice che ne risulta è, dunque, inevitabilmente parziale. Cosí, la fattorizzazione di tale matrice (per esempio, tramite una PCA) produrrà risultati parimenti errati. Sebbene poco conosciuto al di fuori della letteratura matematica, questo problema ha funestato l'originario tentativo di Ross e Roll (1980) di applicare APT all'universo azionario statunitense.

Utilizziamo un algoritmo robusto, efficiente e accurato per fattorizzare matrici di attività assai ampie, evitando al contempo la trappola del tasso di concentrazione. Partendo da tre anni e mezzo di rendimenti settimanali osservati sulla totalità dei titoli statunitensi (oltre 10.000) per il modello statunitense, o di tutti i titoli mondiali (oltre 40.000) per il modello Mondo, produciamo stime imparziali della matrice di covarianza.

Fattorizziamo la matrice in un numero di componenti compreso tra venti e venticinque (in base al mercato). Questi componenti formano una base ortonormale, un sistema di coordinate ad angolo retto misurato in unità di deviazione standard. La mappatura del rendimento di ciascun titolo in tale spazio attraverso una regressione robusta genera: a) la porzione "sistematica" della varianza del rendimento di tale titolo condivisa con le altre azioni; b) la varianza del rendimento "specifico del titolo", interamente determinata dalle caratteristiche del titolo stesso.

Il profilo di rischio APT di ciascun titolo (la "mappa") consiste semplicemente in un vettore di circa venti numeri che rappresentano le coordinate di tale titolo su ciascun asse. L'ultima cifra rappresenta la componente "residuale" (specifica del titolo) che si situa al di fuori di tale spazio.

Per misurare il rischio complessivo di un titolo qualunque prendiamo la radice quadrata della somma dei quadrati di tali coefficienti. Il rischio sistematico è quella porzione che si situa all'interno di tale spazio, mentre il rischio specifico è la restante porzione che si posiziona nello spazio complementare.

Che cosa abbiamo ottenuto?

A questo punto, in realtà, abbiamo ottenuto ciò che ci eravamo prefissati:

Dato un qualunque portafoglio di titoli, possiamo misurare il rischio complessivo e le sue componenti:

1. Rischio sistematico, condiviso da tutti i titoli, in gradi differenti. Poichè esso è condiviso e, pertanto, non diversificabile, questo rischio è evitato dai gestori del portafoglio, nel loro tentativo di mantenere il profilo di rischio sistematico del loro portafoglio in linea con quello del loro indice di riferimento.

2. Rischio specifico del titolo/dell'emittente. Questo è il rischio che deriva dalle strategie specifiche, dalle sorprese legate ai profitti, da problemi legali e altri eventi specifici che differenziano un emittente dai propri concorrenti.

Il rischio di portafoglio segue naturalmente. Dapprima prendiamo la somma ponderata dei singoli profili APT (utilizzando come ponderazione la proporzione delle singole posizioni all'interno del portafoglio), per ottenere il profilo APT del portafoglio. Successivamente, considerando questo profilo come se fosse un titolo singolo (sintetico), applichiamo la stessa formula della radice quadrata della somma dei quadrati come per ogni altro titolo.

Disponendo di tale informazione, il modello APT può calcolare il tracking error di un portafoglio rispetto a qualunque indice di riferimento. Test estensivi a posteriori e simulazioni esterne al campionamento hanno dimostrato che il tracking error di APT è la migliore stima disponibile.

Misurazione vs. attribuzione del rischio

Se, da un lato, abbiamo raggiunto il nostro obiettivo iniziale di misurare il rischio di portafoglio e di suddividerlo nelle componenti condivisa e specifica, dall'altro, a questo punto, tali componenti hanno una natura meramente statistica. Esse sono spesso chiamate "fattori statistici", in quanto derivano da una fattorizzazione della matrice della covarianza. Il loro significato sta nel fatto che essi misurano meglio la matrice della covarianza; più semplicemente, essi riflettono l'effettiva covarianza tra tutte le azioni, indipendentemente da quale variabile del mondo reale possa avere generato tale covarianza, in qualunque punto. Nell'ottica del teorema APT, questo è quanto serve. Ed è ciò che garantisce stime del rischio coerenti nel tempo e accurate.

Ma dal punto di vista del test sull'esposizione del portafoglio a picchi di tasso a lungo termine, a inversioni della curva dei rendimenti, a restrizioni del credito, ai crolli del dollaro, alla ricomparsa di azioni "valore", etc., abbiamo ancora un passo da compiere. Abbiamo bisogno di effettuare la mappatura di una qualsiasi di queste variabili, o persino di variabili personalizzate dall'utente, nello stesso spazio utilizzato per i fattori APT, in modo da analizzare la loro varianza e di metterla in relazione con la varianza del portafoglio. In breve, abbiamo bisogno di legare le nostre stime alla variabile che interessa al gestore.

Per fare questo, APT ha sviluppato una tecnica di attribuzione del rischio unica, che scompone il rischio di un portafoglio o il tracking error in fattori, in base a dati effettivamente osservabili.

Si noti un punto chiave di questo esercizio: non stiamo cercando di alterare le nostre stime del rischio base. Queste sono robuste, coerenti con la covarianza, determinate dalla teoria e, soprattutto, accurate. Stiamo semplicemente cercando di capire per qualunque frazione di tali stime come essa possa essere spiegata dalle variabili (i 'fattori') che scegliamo. Questa distinzione è essenziale. I comuni modelli di rischio confondono la misurazione e l'attribuzione del rischio. Come abbiamo dimostrato, e come mostrano semplici regole algebriche, la misurazione del rischio è prioritaria ed è completamente indipendente dall'attribuzione del rischio. Mescolare le due cose, o invertirne l'ordine, significherà giungere a una cattiva attribuzione e a una cattiva misurazione del rischio stesso.

Progettando un sistema aperto, permettendo agli utenti ampie possibilità di scelta della serie di fattori di rischio che essi ritengono più adatti a un particolare scopo, permettiamo loro di esplorare 'scomposizioni fattoriali' alternative del loro portafoglio, proteggendoli, al contempo, dai capricci delle diverse misure del rischio quando cambia la specificazione. Di fatto, mostriamo esplicitamente il divario tra una data specificazione e il vero rischio di portafoglio, misurando efficacemente l'errore di specificazione.

Contattate APT per una presentazione, una dimostrazione e un esempio di reporting per il rischio del vostro fondo o book.

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