Der APT Ansatz

Das APT System ist eine komplette, authentische und kompromisslose Umsetzung der Arbitrage Pricing Theory. Obgleich die APT Theorie (Ross, 1976) auf erwartete Wertpapierpreise innerhalb eines Arbitrage-Marktes fokussiert ist, betrifft eine ihrer mächtigsten Eigenschaften die Preisschwankungen innerhalb dieser Assets - das Risiko.

Ein Wort zu Portfolio-Risiko

Vor der Diskussion bezüglich der Theorie sollte noch an einige wesentliche Aspekte des Portfolio-Risikos erinnert werden:

Die Rendite eines Portfolios ist einfach der Durchschnitt aller Asset-Returns unter Berücksichtigung der Gewichtungen der einzelnen Wertpapiere innerhalb des Portfolios.

Die Ermittlung des Portfolio-Risikos beinhaltet etwas mehr: die gewichtete Summe der Varianzen der einzelnen Wertpapiere und deren Kovarianzen untereinander, wobei die quadrierten Portfolioanteile als Gewichtung verwendet werden. Zur einfacheren Interpretation ist es am besten, die ursprünglichen Renditemaßeinheiten zu verwenden anstatt der quadrierten, die angewendet werden, um die Varianz zu berechnen. Daher wird Risiko für gewöhnlich als die Quadratwurzel der Varianz, die "Volatilität" (d.h., die Standardabweichung) der Portfolio-Renditen angegeben. Das Risiko in Relation zur Benchmark ist somit die Volatilität des Hedge-Portfolios - eine Kombination aus dem ursprünglichen Portfolio und der Benchmark.

Kurz gesagt, um das Portfolio-Risiko zu berechnen, müssen Sie (i) Varianzen und Kovarianzen der Renditen in einer Tabelle, der "Kovarianzmatrix", sammeln; (ii) die Portfoliogewichtungen einlesen und (iii) die Formel zur Berechnung des Portfolio-Risikos anwenden - eine Formel, die von Mathematikern als Quadratische Gleichung bezeichnet wird.

Warum aber ein vierzig Jahre altes Stück Algebra wiederaufnehmen?

Einfach aus folgendem Grund: Welche Methode auch immer wir verwenden, um Portfolio-Risiko zu analysieren, am Ende muss sie konsistent mit der Kovarianzmatrix sein. Bis zur Wiederentdeckung durch die Architekten des Value-at-Risk (1994) schien diese grundlegende Tatsache unter den meisten populären Risiko-Analyse-Systemen nahezu vergessen zu sein.

Das Schätzen der Kovarianzmatrix

Um aus heutiger Sicht das zukünftige Portfolio-Risiko vorhersagen zu können, benötigen wir Schätzungen der Varianzen und Kovarianzen. Wir benötigen eine Schätzung der Kovarianzmatrix.

Aber wie kommen wir an diese Schätzung?

Eine Methode beruht darauf, jedes Wertpapier isoliert zu betrachten und einen einfachen Volatilitätsschätzer zu verwenden - Kombinationen davon (Garman-Klass, 1980) oder sogar GARCH Schätzer (Engle, 1982; Bollerslev, 1986). Für Wertpapiere bei denen Volatilitäten gehandelt werden, wie beispielsweise in Optionsmärkten, könnten wir sogar die in die Optionspreise einfließenden Marktprognosen verwenden - die "implizite Volatilität". Jedoch, was immer wir auch wählen, stets wird jedes Wertpapier isoliert betrachtet. Die einzigen in der Schätzung verwendeten Daten sind die Kurshistorien, sonst nichts.

Gleiches gilt für die Kovarianz: für jedes Aktienpaar können wir die klassische Kovarianz zwischen zwei Werten, zum Beispiel zwischen Microsoft und IBM verwenden und hierbei alle anderen Aktien ignorieren. In diesem Fall werden ausschließlich die Daten dieser beiden Aktien verwendet. Jedes Paar wird isoliert behandelt.

Kurz gesagt, es handelt sich um lokale Methoden.

Sie sind kurzsichtig, verschwenderisch und ungenau. Und das Schlimmste daran - es gibt keine zugrundeliegende wissenschaftliche Theorie. Sie sind lediglich durch Daten getrieben. Und in der Tat schlagen diese Nachteile zu Buche: Kovarianzmatrizen, die auf diese Art erstellt werden, sind notorisch wackelig und häufig völlig irreführend.

Eine andere Methode beruht auf der Annahme, dass wir die "Treiber" der Volatilität kennen. Wenn wir einige Variablen auswählen und die Relation zwischen jedem Treiber und jedem Wertpapier spezifizieren, können wir den Beitrag dieser Treiber aus den historischen Daten abschätzen. Wenn wir beispielsweise annehmen, dass Microsoft ein Wachstumswert ist und wir eine Definition von "Wachstumswert" vorlegen, können wir versuchen, diese "Wachstums-Komponente" innerhalb der Wertentwicklung von Microsoft zu messen. Allerdings legt hier die Ökonometrie erheblichen Einspruch ein: Um der Schätzung vertrauen zu können, müssen wir annehmen, dass das Modell richtig spezifiziert wurde. Einfach gesagt heißt dies, wenn wir Treiber X benutzen, wo wir eigentlich Y verwenden sollten, sind die Schätzungen nicht besser als reine Spekulation. Wenn wir andere Beispieldaten nehmen, ändern sich die Ergebnisse häufig drastisch. Und gleiches wiederfährt den Risikoschätzungen. Diese Art des Fehlers, der Fluch der Ökonometrie, hat einen Namen: Spezifikationsfehler. Und kein noch so intensives Data Mining kann ihn beheben. Denn nicht die Daten sind das Problem, sondern das Fehlen einer zugrundeliegenden wissenschaftlichen Theorie. Der einzige Ausweg hieraus besteht in einer solchen Theorie - wie in diesem Falle dem Asset Pricing Modell. Statistische Analysen in einem reinen Theorie-Vakuum sind nicht nur wertlos, sie sind gefährlich: Sie gaukeln Wissen vor, wo es lediglich abgeglichene Daten gibt. Diese Lektion wurde vor zwanzig Jahren aus den spektakulären Misserfolgen der makro-ökonomischen Modelle gezogen.

Bitte beachten Sie auch, dass, selbst wenn wir auf Grund einer Theorie wüssten, dass die Spezifikation korrekt ist, wir immer noch in der Lage sein müssen, die Treiber korrekt zu messen. Andernfalls wären die Schätzungen fehlerhaft.

Der abschließende Schlag gegen diese Methode ist gleichermaßen tödlich: Sie ignoriert die Kovarianzmatrix. Egal welche Treiber wir auswählen, wir messen deren Beitrag zu jedem Wertpapier stets in einem "Vakuum" - vollkommen unabhängig von der tatsächlichen Kovarianz mit allen anderen Wertpapieren. Tatsächlich tritt die Kovarianzmatrix zum keinem Zeitpunkt in Erscheinung. Sie ist buchstäblich verschwunden.

Aber an der Mathematik führt kein Weg vorbei: Das Portfolio-Risiko ist eine explizite Funktion der Kovarianzmatrix. Das Portfolio-Risiko ungeachtet der Kovarianzmatrix zu schätzen, ist Unsinn. Zu ignorieren was Portfolio-Risiko eigentlich definiert, garantiert enttäuschende Schätzungen.

Fairerweise sei erwähnt, dass populäre Risikomodelle, die auf diesem Ansatz basieren, vor der Entdeckung des APT Theorems durch Ross (1976) erstellt wurden. Die fatalen Fehler jedoch blieben auch in allen nachfolgenden Variationen erhalten. Heutzutage allerdings muss dies nicht länger der Fall sein.

Das APT Theorem und das Risiko

Wir sind nicht länger in einem theorieleeren Raum gefangen. Seit der Entdeckung von Ross gibt es tatsächlich eine bemerkenswert starke Theorie: eine Theorie basierend auf dem fundamentalsten Modell der Preiskalkulation - des "Arbitrage Pricing". Es handelt sich um die gleiche Arbitragepreiskalkulation, die die Durchbrüche bei der Modellierung des Derivatbereiches in den letzten 25 Jahre ermöglicht hat.

Das APT Theorem stellt eine Gleichgewichtspreisrelation zwischen der erwarteten Rendite jedes einzelnen Wertpapiers mit allen anderen Wertpapieren her. Diese Relation ist in der Kovarianzmatrix eingebettet. Anders ausgedrückt, es ist eben diese Struktur der Kovarianzmatrix, die die Arbitragepreiskalkulation erzwingt. Im Speziellen zeigt das Theorem, dass derjenige Anteil der erwarteten Rendite, der über den risikofreien Zinssatz hinausgeht, einfach der Summe der Einflüsse einiger gemeinsamer Risikoquellen entspricht, gewichtet mit den Preisen, die der Markt diesen Risiken zuweist - der Risikoprämie.

Das, was Risiko in diesem Zusammenhang definiert, ist nicht irgendeine spezifische Variable bzw. spezifische Variablen der "realen Welt", sondern es sind vielmehr stets unterschiedliche Variablen. Zu unterschiedlichen Zeiten rücken unterschiedliche Eigenschaften der Wertpapiere in den Fokus der Investoren. Und die Investoren werden ihren Fokus und ihre Meinung fortwährend ändern. Kapitalmärkte werden aus diesen uneinheitlichen Erwartungen heraus geboren. Unterschiedliche Themen, alte und neue, werden zu verschiedenen Zeiten entstehen und wieder verschwinden. Dies bedeutet, daß wir niemals hoffen können, diese allgemeinen Eigenschaften direkt beobachten zu können, noch sollten wir es versuchen. Nicht zu einem Zeitpunkt, in dem wir das Risiko genau schätzen möchten - noch ohne es zuzuschreiben. Das Theorem trifft hierüber keine Aussage. Es handelt sich um ein geradliniges, mathematisches Resultat, welches die Performance eines jeden Wertpapiers zu unkorrelierten Portfolios aller Wertpapiere in Beziehung setzt, wobei jedes dieser Portfolios, das auf Grund von gemeinsamer Eigenschaften gebildet wurde, gleichsam seinen Beitrag "imitiert". Alles was das Theorem besagt, ist, dass im Durchschnitt die Renditen der Gleichgewichtspreisrelation folgen. Ohne in komplizierte mathematische Beweisführung abzutauchen, stellt dies tatsächlich eine Aussage über die Struktur der Kovarianzmatrix dar. Rein formal bedeutet dies, dass anstatt nur irgendeine quadratische, symmetrische Matrix zu sein, wird sie einen effektiven Umfang haben, der wesentlich kleiner als die Anzahl der zu bewertenden Assets ist. Sie liegt in einem Bereich, der niedriger dimensioniert ist als der Wertpapierbereich.

Matrizen in unterschiedlichen Teilräumen und in unterschiedlichen Koordinatensystemen darzustellen ist ein Bereich mit einer langen, illustren Geschichte in der Mathematik (z.B. Eigenraum Analysen, Spektrale Zerlegung, Eckart und Young, 1936). Prinzipiell, so scheint es, ist die Extraktion dieser Struktur klar. Aber in der Praxis, wenn die zugrundeliegenden Daten Beispielbeobachtungen sind, die durch irgendeinen stochastischen Prozess erzeugt wurden, stellt dies eine beträchtliche statistische Herausforderung dar (Blin, 1997, Blin und Bender, 1995).

Eine Sache jedoch ist gewiss: Wenn wir erfolgreich sein sollten, haben wir keine Spezifikationsfehler – dank der Konstruktion, da wir einfach das Theorem anwenden. Und wir sind vollkommen konsistent mit der Kovarianzmatrix - wieder dank der Konstruktion, da wir mit der Kovarianzmatrix beginnen.

Hinsichtlich Schätzungen

Der Standardansatz besteht darin, zum Beispiel durch Principal Component Analysis (PCA), die Matrix in einem Eigenraum abzubilden. Tatsächlich hatte zehn Jahre vor der Entdeckung des APT Theorems, King (1966) eben diese PCA für das Dow Jones Industrial Average Stock Universum angewandt. Obwohl die Untersuchung nicht darauf abzielte, das Risiko von Aktienportfolios aus dem DJIA Universum zu berechnen, sondern vielmehr einige aussagekräftige, allgemeine statistische Faktoren aufzudecken, sollte durch die Untersuchung veranschaulicht werden, dass die Aktienperformance deutlich von gemeinsamen Faktoren beeinflusst wurde.

Wenig beachtet jedoch war die Tatsache, daß es in dem Beispiel weit weniger Aktien (30) als Renditebeobachtungen gab. Im allgemeinen ist genau das Gegenteil der Fall: Da wir zur Erstellung der Matrix alle gehandelten Wertpapiere (Aktien, Anleihen, Commodities, Währungen, usw..) verwenden müssen und weil die Häufigkeit der Returns auf Grund der fehlenden Synchronie der Preise limitiert ist, sind stets wesentlich mehr Assets als Zeitperioden mit historischen Preisen vorhanden. Das "Konzentrationsverhältnis" - die Zahl der Assets im Verhältnis zur Anzahl der beobachteten Zeitpunkte - ist extrem unausgeglichen. Ohne an dieser Stelle in die mathematischen Entwicklungen einzusteigen, sei es ausreichend zu erwähnen, dass die resultierende Matrixschätzung hoffnungslos verzerrt sein wird. Diese Matrix zu faktorisieren (zum Beispiel durch PCA) produziert wiederum gleichermaßen fehlerhafte Resultate. Obgleich dies außerhalb der mathematischen Literatur nur wenig bekannt ist, quälte dieses Problem schon Ross und Roll (1980) bei deren ursprünglichem Versuch, das APT Theorem auf den U.S. Aktienmarkt anzuwenden.

Zur Faktorisierung von sehr große Wertmatrizen unter gleichzeitiger Vermeidung des Problems des “Konzentrationsverhältnisses" verwenden wir einen robust leistungsfähigen und genauen Algorithmus. Ausgehend von dreieinhalb Jahren wöchentlicher Returns für alle U.S. Wertpapiere (über 10.000 Assets) für das U.S.-Modell oder von allen weltweit verfügbaren Wertpapieren (über 40.000 Assets) für das Welt-Modell, produzieren wir erwartungstreue Schätzungen der Kovarianzmatrix.

Wir faktorisieren die Matrix in zwanzig bis fünfundzwanzig Komponenten (abhängig vom jeweiligen Markt). Diese Komponenten bilden eine orthonormale Grundlage - ein rechtwinkliges Koordinatensystem, skaliert in der Maßeinheiten der Standardabweichung. Die Abbildung eines jeden Wertpapierreturns in diesem Raum anhand stabiler Regressionsmethoden produziert: (i) den "systematischen" Anteil der Varianz der Wertpapierrendite, der mit den anderen Wertpapieren geteilt wird; (ii) die "wertpapierspezifische" Varianz der Wertpapierrendite, die ausschließlich durch die Eigenschaften dieses Wertpapiers getrieben ist.

Das APT Risikoprofil eines jeden Wertpapiers (das "Diagramm") ist einfach ein Vektor von ca. zwanzig Zahlen, welche die Koordinaten dieses Wertpapiers auf jeder Achse darstellen. Die letzte Zahl stellt die (wertpapierspezifische) Residualgröße dar, die außerhalb des Raumes liegt.

Um das Gesamtrisiko eines jeden Wertpapiers zu messen, nehmen wir die Quadratwurzel der Summe der Quadrate dieser Koeffizienten. Das systematische Risiko ist derjenige Teil, der innerhalb dieses Raumes liegt. Das spezifische Risiko ist der Teil, der im Komplementär-Raum liegt.

Was Haben Wir Erreicht?

An diesem Punkt haben wir in der Tat erreicht, was zu erreichen wir uns zum Ziel gesetzt haben:

Für jedes beliebige Portfolio von Wertpapieren können wir dessen Gesamtrisiko und die einzelnen Risikokomponenten messen:

1. Das systematisches Risiko, das von allen Wertpapieren geteilt wird – zu einem unterschiedlichen Grad. Da dies allen Wertpapieren gemeinsam und folglich nicht diversifizierbar ist, wird dieses Risiko von den Portfolio Managern gemieden und sie bemühen sich, das systematische Risikoprofil ihres Portfolios an demjenigen der entsprechenden Benchmark auszurichten.

2. Wertpapier-/Unternehmensspezifisches Risiko. Dies ist das Risiko, welches aus den unterschiedlichen Strategien, den Gewinnüberraschungen, den gesetzlichen Verwicklungen und anderen spezifischen Umständen resultiert, in denen sich ein Unternehmen von seinen Konkurrenten unterscheidet.

Daraus wird folgerichtig das Portfolio-Risiko abgeleitet. Zuerst nehmen wir die gewichtete Summe der einzelnen APT Profile (wobei die Portfolioanteile als Gewichte verwendet werden), um das APT Profil des Portfolios zu ermitteln. Indem wir dann dieses Profil als gleichsam einzelnes (synthetische) Wertpapier behandeln, wenden wir dieselbe Formel (Quadratwurzel der Summe aller Quadrate) wie für jedes andere Wertpapier an.

Mit diesen Informationen kann das APT Modell den Tracking Error eines Portfolios zu jedem beliebigen Vergleichsindex berechen. Umfangreiche Backtests und Simulationen haben demonstriert, dass der APT Tracking Error die genaueste aller verfügbaren Schätzungen ist.

Risikomessung vs. Risikoattribution

Obgleich wir das Ausgangsziel, das Portfolio-Risiko zu messen und es in gemeinsame und spezifische Komponenten aufzuspalten erreicht haben, handelt es sich bei diesen Komponenten im Moment immer noch um rein statistische Größen. Sie werden daher auch oft "Statistische Faktoren" genannt, da sie aus der Faktorisierung der Kovarianzmatrix gewonnen werden. Ihre Bedeutung liegt darin, dass sie die Kovarianzmatrix am geeignetsten darstellen; kurz gesagt, reflektieren sie die tatsächliche Kovarianz zwischen allen Aktien, ungeachtet dessen, welche realen Variablen zu dieser Kovarianz an irgendeinem Punkt geführt haben sollten. Vom Standpunkt des APT Theorems ist das allesm was erforderlich ist. Und dadurch wird eine gleichbleibend genaue Risikoschätzungen garantiert.

Aber aus dem Blickwinkel der Untersuchung, ob ein Portfolio von Long Rate Spikes, Yield Curve Shifts, Credit Squeezes, dem Verfall des Dollarkurses oder dem Wiedererstarken von Wachstumswerten etc. beeinflusst wird, bedarf es noch eines weiteren Schrittes. Wir müssen jede einzelne dieser Variablen und sogar beliebige userspezifizierte Variablen im gleichen Faktorraum wie die APT Faktoren abbilden, um ihre spezifische Varianz zu analysieren und in Beziehung zur Portfolio-Varianz zu setzten. Kurz gesagt, wir müssen unsere Schätzungen mit denjenigen Variablen verbinden, auf die das Interesses des Managers gerichtet ist.

Um dies zu ermöglichen, hat APT ein einzigartiges Verfahren zur Risikoattribution entwickelt, welches den Tracking Error des Portfolios in einzelne Faktoren zerlegt, die auf tatsächlich beobachtbaren Daten basieren.

Bitte achten Sie hierbei auf einen entscheidenden Punkt dieses Unterfangens: Wir sind nicht darauf aus, unsere grundlegenden Risikoschätzungen zu ändern. Diese sind robust, konsistent mit der Kovarianz, basieren auf einer wissenschaftlichen Theorie und sind vor allen Dingen genau. Wir ermitteln lediglich, welcher Anteil dieser Schätzungen durch die Variablen (die "Faktoren") erklärt werden kann, die wir ausgewählt haben. Diese Unterscheidung ist wesentlich. Populäre Risikomodelle vermischen Risikomessung und Risikoattribution. Wie wir demonstriert haben und wie durch einfache Algebra veranschaulicht wird, kommt die Risikomessung zuerst und ist vollständig unabhängig von der Risikoattribution. Das Vermischen der beiden oder das Verkehren ihrer Reihenfolge produzieren schlechte Attribution und zweifelhafte Risikomessung.

Indem wir ein offenes System entwerfen und den Benutzern große Freiheiten bei der Auswahl der Risikofaktoren zugestehen, die sie für ihre Zwecke am geeignetsten erachten, ermöglichen wir es ihnen, alternative Faktorzerlegungen ihres Portfolios zu untersuchen, ohne sie wechselnden Risikokennzahlen, bei sich ändernden Spezifikation, zu unterwerfen. Tatsächlich zeigen wir ausdrücklich die Differenz zwischen einer gegebenen Spezifikation und dem tatsächlichem Portfolio-Risiko - den Spezifikationsfehler - auf.

Fragen Sie APT nach einer Präsentation, Demonstration und einem Beispiel-Risikoreport für Ihren Fond oder Ihr Handelsbuch.

top