APT 方法

APT 系统真正可靠地全面实现了套利定价理论。尽管APT理论(Ross, 1976)致力于套利市场中的期望资产价格，其一个重要内涵体现了由于价格波动引起的资产风险。

关于投资组合风险

探究这个理论之前，我们先分析关于投资组合风险的一些关键概念：

简单的讲，证券收益率是单个资产收益率的加权平均值，这里的权重是证券持有量。

投资组合风险被定义成单个资产的方差及与其他资产的协方差的加权总和，这里的权重是证券持有权重的平方。简单解释，方差计算最好使用收益的原始值，而不是收益率的平方。因此，风险通常被表示为方差的平方根，即证券收益波动率（标准差）。相对标的风险则是“避险投资组合(hedged portfolio)”的波动率——原始投资组合与标的的结合。

简言之, 为了计算证券投资风险, 你应(1)将收益率的方差和协方差集中到一个表格——“协方差矩阵”；(2)读入证券持有的权重值；(3)应用证券投资组合风险公式——一个数学二次方程式。

为什么要重述一个四十年历史的代数式呢?

简单讲，是因为：不论我们用什么方法去分析证券投资组合风险，最后它一定会与那个矩阵相一致。这个基本定律被多数风险分析系统所忽略，直到被风险价值(Value-at-Risk)的研究者们重新发现(1994)。

估计协方差矩阵

为了估计证券的期望投资组合风险，我们需要估计方差和协方差——协方差矩阵。

怎么才得到它呢?

一种方法：独立看待每个资产，使用简单的波动率估计组合理论(Garman-Klass,1980),或GARCH估计法(Engle, 1982；Bollerslev,1986)。对于以波动率为交易物的市场（如期权市场），我们可以通过期权价格进行市场预测——“隐含波动率”。不论我们选择哪种方法，每个资产被独立看待估计中使用的都是历史数据。

同样对于协方差：我们使用传统的方法计算两支股票的协方差，例如Microsoft和IBM, 而忽略其他所有股票。在这种情况下，唯一用到的数据都与那两支股票相关，而与其他股票无关。可以说这对股票被单独看待了。

简而言之，这些都是局部的方法。

它们狭隘，不够经济，且缺乏准确性。更严重的是，缺乏潜在理论支持，纯粹取决于数据。另外，这种方法建立的协方差矩阵非常不稳定, 而且经常产生误导作用。

另外一种方法：假设我们知道已知波动率是驱动变量，如果选取一些变量，指定每个驱动变量和股票之间的关系, 根据历史数据估计那个驱动变量的贡献值。例如，假设Microsoft是成长股，按照成长股的的定义，我们可以度量股票业绩中“成长”因子的贡献度。然而, 基本经济学严重警告：如果估计值值得信赖，我们必须假设指定的模型是正确的。通俗的说，如果我们在应该使用Y的时候，使用驱动变量X，这个估计比随便猜测更糟糕。假如我们采用其他取样点，结果会迥然不同。图形常常会彻底变化。风险估计也是这样。这种误差在经济学中被称为“设定误差(specification error)”，任何数据挖掘都无法纠正这种误差。数据本身没有问题，问题在于缺乏理论基础。 唯一的出路是建立一套理论—— 资产定价模型。缺乏理论基础的统计分析不但无用，而且存在危险：仅有数据支持是不够的，要有知识理论基础。在只有数据支持的地方要运用知识理论。二十年前，宏观经济学模型的彻底失败已经留下了深刻教训。

我们也注意到，即使根据理论知道具体需要纠正哪些地方，我们仍必须能够正确度量驱动变量；否则，估计也会有偏差。

这种方法的巨大打击是致命的：它实际上忽视了协方差矩阵。无论我们选择哪些驱动变量, 我们测量他们在“真空”状态下对每支股票的贡献值——与其他所有股票完全独立。实际上, 协方差矩阵从未被考虑进去。

用数学表达：证券投资组合风险是协方差矩阵的直接函数。不考虑协方差矩阵的风险估计是荒谬的。忽略证券投资组合风险的定义而得出的估计肯定会令人失望。

客观说，该方法上的流行风险模型开始于APT定理(Ross, 1976)发现之前。其后来的演变存在一些致命缺陷，今天我们应该去弥补这些缺陷。

APT 定理与风险投资

我们的理论不再空白。Ross的发现给我们提供了一个非常强劲的理论：基于基本资产定价模型的套利定价，就是这个套利定价理论带来金融衍生产品在过去25年中的突破。

APT 定理建立了单个资产期望收益率与其他资产之间的平衡定价关系，其内嵌于协方差矩阵中。换言之，它是实施套利定价的协方差矩阵结构。具体说，定理证明了期望收益率超出无风险利率的部分，是关于一些共享资源风险暴露的加权和，其权重是市场分配给这些风险的价格——风险溢价。

这个方程中定义风险的不是现实世界中的某些特定变量，而是共享变量。不同时期，投资者将重点放在不同的资产特征上。他们经常产生分歧，频繁地改变关注的焦点和想法。资本市场天性缺少和谐，多变的主题，旧的新的，涨涨落落，这意味着我们不能也别试图去直接观察到一些共性。现阶段，我们想要正确估计风险，至于想分解风险还为时过早，而且也不被该定理所涉及。它是一个直观数学结果，将每支股票的业绩与非相关的所有股票组合联系起来，每个投资组合“模仿”了其共性的贡献值。定理指出，平均收益率将服从这个定价关系。没有深度复杂的数学讨论，只有关于协方差矩阵结构的论述。它不仅仅是二次对称矩阵，其有效秩远远小于参与定价的资产数量。它将位于资产空间下面的低维子空间。

在不同的子空间和不同的协调系统中表示这些矩阵是一个有着悠久杰出历史的数学领域(例如特征空间分析，频谱分析，Eckart和Young,1936)。因此，原理上提取那种结构好像是清楚的。但在实践中, 当样本观测数据是由随机过程产生时，这给统计工作带来一项重大挑战(Blin,1997;Blin和Bender,1995)。

不过有一点是肯定的：如果成功,我们结构中将没有特定误差，因为我们只是应用了这个理论。因为我们从协方差矩阵开始，所有我们能够严格地与协方差矩阵保持一致。

关于评估

标准的评估方法是在特征空间中建立一个矩阵, 例如通过主成分分析法(PCA)。事实上, 在APT定理发明十年前, King(1966)已把PCA运用于道琼斯工业平均指数领域(DJIA, Dow Jones Industrial Average)。他的目的是想找出一些共同的统计因素,而不是测量DJIA中股票组合的风险，然而他事实上阐述了共性行为决定了它们的业绩。

然而，容易被忽略的事实是：样本中的股票（30）远远小于收益率的观测值。一般相反的情形是：因为我们必须使用所有的交易资产(股票, 债券, 商品, 货币等)去组建这个矩阵，由于收益频率受到价格非同步性的限制，资产数目总是比观测到的时间区间数要多。“集中率(concentration)”——资产数目与时间区间数之比，是极其片面的。不考虑这段时间的数学进步, 我们就能说结果矩阵的估计是有偏的。因此，将该矩阵分解因子(例如通过PCA)，将产生同样错误的结果。尽管在数学文献之外几乎不为人所知，这个问题是Ross和Roll(1980)试图将APT定理应用到在股票领域中的一个困扰。

我们使用稳健高效的精确算法对庞大的资产矩阵进行分解因子，以规避“集中率”的陷阱。从所有美国证券(超过10,000项)三年半的周收益率的美国模型, 或所有世界证券(超过40,000项)的世界模型开始，我们建立了协方差矩阵的无偏估计。

我们将矩阵分解成20到25个成分（视市场而异）。这些成分构成标准正交的基础——以标准方差为单元的直角协调系统。通过稳健回归把证券的收益率定位到那个空间形成：(1)股票收益率方差的系统部分，其与其他股票共享；(2)“特定”收益方差，完全取决于该股票个性特征。

证券的APT风险特性是20多个数字组成的简单向量，每个数字代表证券在每个坐标轴上的协调，最后一个数字代表“残留”部分，不属于这个空间。

这些系数平方和的平方根被用来度量证券的总风险。系统风险属于这个空间，特定风险属于补充空间。

我们取得的成绩呢?

在这一点上,我们确实完成了我们的愿望：

任何证券投资组合, 我们能够度量其整体风险及组成内容：

1.系统风险——不同程度上所有证券所共享。因为是共同的，没有差异性, 所以当投资组合经理人做到使他们的系统风险特性与他们的目标指数特性保持一致时，这种风险就被规避了。

2.(证券、公司)特定风险——来自特定的投资策略、意外收入、法律纠纷及其他有别于竞争者的个性事件。

证券投资组合风险随即而至。首先通过单个资产的APT风险特性的权重和（权重是证券持有量）来得到整个投资组合的APT风险特性。然后把这个整体的APT风险特性看作单个(synthetic)证券，我们把这个平方和的平方根公式同样应用于任何其他证券。

有了这些信息，APT模型可以计算出投资组合相对于目标指数的追踪误差(tracking error)。大量的历史测试(backtest)和样本外模拟测试表明APT追踪误差是最精确的估计。

风险度量和风险归属

尽管我们的原始目标是度量投资组合风险并将它分解成共享成分和特定成分，它们都是完全统计意义上的。因为他们起源于协方差矩阵的因子分解，所以常常被称为“统计因子”；它们的意义在于完美拓展了协方差矩阵。简言之，它们反映所有股票之间的实际协方差，而不考虑现实世界哪些变量可能导致协方差的存在。从APT理论看，那就足够了，其保证了一致的精确风险估计。

从证券投资组合是否暴露在长期利率飙涨、收益率曲线移动、贷款压力、美元下跌、价值股票复苏等角度看，我们还差一步之遥。我们需要在与APT因子空间相同的空间中，定位所有变量，甚至用户专有变量，分析他们自身的方差和相对投资组合的协方差。总之，要把我们的风险估计与投资经理关注的变量联系起来。

为此, APT 开发了独特的风险归属技术，根据实际可观察的数据，分解证券投资组合的风险或追踪误差。

这项工作的关键在于：我们不改变基本的风险估计。它们是稳健的，协方差一致的，体论推动的，并且在所有精确之上。我们只希望分解能够被我们选取的变量（因子）所解释的那部分风险。这种区别是至关重要的。流行的风险模型混淆了风险度量与风险归属。正如我们刚才证明的以及简单代数阐述的那样，风险度量产生在先，其完全独立于风险归属。如果混合两者，或者颠倒它们的次序，将导致错误的风险归属和风险度量。

通过设计开放式系统，用户可以根据他们需要自由选取一些风险因子，可以使用不同的“因子分解”方法，然而当特定风险变化时，用户不受风险值的影响。事实上，我们明确表明了已给的特定风险与实际的投资组合风险（有效度量了特定误差）之间的差距。

联系APT获取演讲、示范和风险报告范例。

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